Plano de aula Equações do 2º grau
PÚBLICO ALVO: Alunos no 9º ano do Ensino Fundamental
DURAÇÃO: 10 aulas
OBJETIVO GERAL: Compreender e explorar em diferentes contextos os processos de cálculos para resolução de equações de 2º grau e enfrentamento de situações-problema envolvendo equações. Desenvolver a competência leitora e escritora através de narrativas e a história na matemática.
COMPETÊNCIAS /HABILIDADES:
- Compreender a resolução de equações de 2º grau e saber utilizá-las em contextos práticos;
- Resolver problemas que envolvam equações do 2º grau;
- Compreender o aspecto conceitual da fórmula;
- Saber expressar e utilizar em contextos práticos as relações de proporcionalidade direta entre uma grandeza e o quadrado de outra por meio de uma função de 2º grau.
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS:
- Levantamento dos conhecimentos prévios que os alunos possuem sobre equação através da roda de conversa;
- Contextualização histórica sobre o surgimento das equações de 2º
grau a partir da leitura compartilhada de um texto de cunho didático :
Bhaskara descobriu a fórmula de Bhaskara ?
Bhaskara a pessoa Bhaskara Acharya ( B. o Instruído ) viveu de 1 114 a 1 185 aprox., na India.
Nascido numa tradicional família de astrólogos indianos, seguiu a tradição profissional da família, porém com uma orientação científica, dedicando-se mais à parte matemática e astronômica ( tais como o cálculo do dia e hora da ocorrência de eclipses ou das posições e conjunções dos planetas ) que dá sustentação à Astrologia.
Seus méritos foram logo reconhecidos e muito cedo atingiu o posto de diretor do Observatório de Ujjain, o maior centro de pesquisas matemáticas e astronômicas da India, na época.
Qual seu livro mais famoso ? E' o Lilavati, um livro bem elementar e dedicado a problemas simples de Aritmética, Geometria Plana ( medidas e trigonometria elementar ) e Combinatória.
A palavra Lilavati é um nome próprio de mulher ( a tradução é Graciosa ), e a razão de ter dado esse título a seu livro é porque, provavelmente, teria desejado fazer um trocadilho comparando a elegância de uma mulher da nobreza com a elegância dos métodos da Aritmética.
Numa tradução turca desse livro, 400 anos depois, foi inventada a história de que o livro seria uma homenagem à filha que não pode se casar. Justamente essa invenção é que tornou-o famoso entre as pessoas de pouco conhecimento de Matemática e de História da Matemática. Parece, também, que os professores estão muito dispostos a aceitarem estórias românticas em uma área tão abstrata e difícil como a Matemática; isso parece humanizá-la mais.
Então, não escreveu nenhum livro importante ? Ao contrário! Ele escreveu dois livros matematicamente importantes e devido a isso tornou-se o matemático mais famoso de sua época. Esses livros são: - o Siddhanta-siromani, dedicado a assuntos astronômicos e dividido
em duas partes:
- Goladhyaya ( Esfera Celeste )
- Granaganita ( Matemática dos Planetas )
- o Bijaganita que é um livro sobre Álgebra [ os indianos
foram os pais da Álgebra e a chamavam de Outra (= Bija ) Matemática ( =
Ganita),
pois nasceu depois da matemática tradicional que dedicava-se aos cálculos
aritméticos e geométricos ].
Bhaskara gasta a maior parte desse livro mostrando como resolver equações . Embora não traga nenhuma novidade quanto à resolução das equações determinadas, ele traz muitos novos e importantes resultados sobre as indeterminadas. Para os matemáticos, é exatamente nas suas descobertas em equações indeterminadas que reside sua importância histórica.
equações INDETERMINADAS ou diofantinas:
chamamos assim às equações ( polinomiais e de coeficientes inteiros ) com infinitas soluções inteiras, como é o caso de :- y - x = 1 que aceita todos os x = a e y = a + 1 como soluções , qualquer que seja o valor de a
- a famosa equação de Pell x2 = N y2 + 1
Bhaskara foi o primeiro a ter sucesso na resolução dessa equação, para isso introduzindo o método do chakravala ( ou pulverizador )
Mas, e a fórmula de Bhaskara ? - Bhaskara nem sabia o que é uma fórmula
As fórmulas surgem na Matemática só 400 anos depois de sua morte, consequentemente, não poderia ele ter descoberto fórmula nenhuma. - Naquela época, como eram resolvidas as equações ?
Usando REGRAS !
Chamamos de regra à uma descrição por extenso dos procedimentos para resolver um problema, por exemplo uma equação. Na época de Bhaskara essas regras, tipicamente, tinham a forma de poesias que iam descrevendo as operações a realizar para resolver o problema.
A partir de Aryabhata 500 dC, e possivelmente muito antes, os indianos já usavam várias regras para resolver equações do segundo grau. Entre essas, destacamos a seguinte que tem uma formulação muito próxima do procedimento que hoje usamos:
EXEMPLO:
para resolver as equações quadráticas da forma ax2 + bx = c, os indianos usavam a seguinte regra:
"multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso"É também muito importante observar que a falta de uma notação algébrica, bem como o uso de métodos geométricos para deduzir as regras, faziam os matemáticos da Era das Regras terem de usar varias regras para resolver equações do segundo grau. Por exemplo, precisavam de regras diferentes para resolver x2 = px + q e x2 + px = q.
Foi só na Era das Fórmulas, inaugurada com a Logistica Speciosa de François Viète c. 1 600 dC, que iniciaram as tentativas de dar um procedimento único para resolver todas as equações de um grau dado. - Bhaskara conhecia a regra acima ?
Sim, conhecia. - Essa regra foi descoberta por Bhaskara ?
Não! Ela JA' era do conhecimento de, no mínimo, o matemático Sridara, que viveu há mais de 100 anos antes de Bhaskara Acharya.
Resumindo o envolvimento de Bhaskara com equações do segundo grau - o Siddhanta-siromani, dedicado a assuntos astronômicos e dividido
em duas partes:
- Quanto a equações DETERMINADAS do segundo grau:
No Lilavati, Bhaskara não trata de equações quadráticas determinadas e o que ele faz sobre isso no Bijaganita e' mera cópia do que já tinham escrito outros matemáticos. - Quanto a equações INDETERMINADAS do segundo grau:
Aí ele realmente fez grandes contribuições e essas estão expostas no Bijaganita. Pode-se dizer que essas contribuições, principalmente a invenção do método iterativo do chakravala e sua modificação do clássico método kuttaka correspondem ao ápice da matemática indiana clássica, podendo-se acrescentar que é somente com Euler e Lagrange que voltaremos a encontrar desenvoltura técnica e fertilidade de idéias de porte comparáveis. - Propor um problema envolvendo a transposição da situação para uma equação do 2º grau;
- Retomada do problema proposto na aula anterior e da equação gerada a fim de buscar soluções para a equação por meio do método de completar quadrados;
- Propor um novo problema com o objetivo de permitir que os alunos transcrevam a situação para a linguagem matemática através de uma equação do 2º grau e busquem maneiras de resolvê-la;
- Retomada da aula anterior de modo a socializar os procedimentos de resolução encontrados pelos alunos;
- Leitura do poema “Brincando com a Matemática” de Leoni Muniz (texto encontrado em: http://www.somatematica.com.br/poemas/p19.html). Elaboração de problemas que utilizem em contextos práticos entre as relações de proporcionalidade direta entre uma grandeza e o quadrado de outra por meio de uma função de 2º grau;
- Resolução, em dupla, de situações-problema que envolva o assunto abordado.
AVALIAÇÃO: A avaliação será feita de forma contínua, observando o envolvimento dos alunos com a proposta de trabalho. Propor atividades diagnósticas para avaliar a aprendizagem dos alunos e auto avaliação.
INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA: Esclarecer as dúvidas que aparecerem durante as aulas, fazendo a retomada de conteúdo e proporcionando o agrupamento produtivo para trocas de experiências entre os alunos.Além de proporcionar atividades envolvendo os descritores trabalhados.
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